EUCLIDES: Proposición 47

.....En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

.....Sea ΑΒΓ el triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto ΒΑΓ.
.....Digo que el cuadrado de ΒΓ es igual a los cuadrados de ΒΑ, ΑΓ.
.....Trácese pues a partir de ΒΓ el cuadrado ΒΔΕΓ, y a partir de ΒΑ, ΑΓ los cuadrados ΗΒ, ΘΓ, y por Α trácese ΑΛ paralela a una de las dos ΒΔ, ΓΕ; y trácense ΑΔ, ΖΓ, Y dado que cada uno de los ángulos ΒΑΓ, ΒΑΗ es recto, entonces en una recta cualquier ΒΑ y por un punto de ella, Α, las dos rectas ΑΓ, ΑΗ, no colocadas en el mismo lado, hacen los ángulos adyacentes iguales a dos rectos; por tanto, ΓΑ está en línea recta con ΑΗ. Por la misma razón, ΒΑ también está en línea recta con ΑΘ. Y como el ángulo ΔΒΓ es igual al ΖΒΑ –porque cada uno es recto– añádase a ambos el ΑΒΓ; entonces el entero ΔΒΑ es igual al entero ΖΒΓ; y como ΔΒ es igual a ΒΓ, y ΖΒ es a ΒΑ, los dos ΔΒ, ΒΑ, son iguales respectivamente a los dos ΓΒ, ΒΖ; y el ángulo ΑΒΔ es igual al ángulo ΖΒΓ; entonces la base de ΑΔ es igual a la base ΖΓ, y el triángulo ΑΒΔ es igual al triángulo ΖΒΓ; y el paralelogramo ΒΛ es el doble del triángulo ΑΒΔ: porque tienen la misma base ΒΔ y están entre las mismas paralelas ΒΔ, ΑΛ; pero el cuadrado ΗΒ es el doble del triángulo ΖΒΓ: porque tienen a su vez la misma base ΖΒ y están entre las mismas paralelas ΖΒ, ΗΓ; por tanto, el paralelogramo ΒΛ es también igual al cuadrado ΗΒ. De manera semejante, trazando las ΑΕ, ΒΚ se demostraría que también el paralelogramo ΓΛ es igual al cuadrado ΘΓ; por tanto, el cuadrado entero ΒΔΕΓ es igual a los cuadrados ΗΒ, ΘΓ. Asimismo, el cuadrado ΒΔΕΓ ha sido trazado a partir de ΒΓ, y los cuadrados ΗΒ, ΘΓ a partir de ΒΑ, ΑΓ. Por tanto, el cuadrado del lado ΒΓ es igual a los cuadrados de los lados ΒΑ, ΑΓ.
.....Por consiguiente, en los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiendre el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Lo que se quería demostrar.

Euclides: Elementos; Libro I, proposición 47

Cualquiera con un poco de paciencia puede comprender la proposición 47 de Euclides. Es más, creo que cualquiera, una vez terminado el proceso, sentirá la misma admiración que ya sintieron Proclo, Kant, Einstein, etc, por la elegancia de esta demostración.

Como suele decirse, la demostración de Euclides es estrictamente geométrica: no utiliza ningún cálculo, ningún número; sólo se sirve de las relaciones, ya demostradas en anteriores postulados y proposiciones, entre ángulos, líneas paralelas y áreas. Es decir, no recurre a ningún lenguaje más allá de nombrar lo evidente, lo sensible. Y a partir de ahí consigue demostrar una verdad universal y "aparentemente" inconcebible: la diversidad está comprendida en la unidad.

La historia del mal llamado Teorema de Pitágoras es fascinante. Demostrarlo, una vez que se sabe, nos parece fácil después de haber leído diferentes tipos de demostraciones; articular la demostración, desde luego, no lo es. Pero lo que parece realmente imposible es concebirlo: ¿cómo puede alguien descubrir una relación tan precisa, y tan abstracta, como la que une los catetos y la hipotenusa? Parece un don de los dioses.

Y todo lo que se ha conseguido sólo con ese saber... ¡Cuántas Américas se han descubierto! Incluso el misterio, tan celosamente guardado por los pitagóricos, de "los irracionales", "los inmensurables". El mismo teorema nos enseña que todo puede ser calculado y que no todo puede ser calculado. Todo puede ser demostrado si es conocido, pero toda demostración lleva a algo que no se puede conocer.

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El triángulo de la certeza y de la incertidumbre:

• El hechizo de Pitágoras, el discreto encanto de la geometría; de Alonso Takahashi, Universidad Nacional de Colombia.
• Poesía y verdad de Gustavo Buenon en El Catoblepas: Se analizan ciertas relaciones de analogía entre un teorema de Euclides y un soneto de Lope de Vega.
• La proposición 47 y la masonería, por Benjamin.
• Geometrías no-Euclideanas. Blog (uno de sus muchos) de Armando Martínez, sobre geometrías posibles.